Ementa de SMA 0380 - Análise

Números

• Os Axiomas de Peano e os números naturais: A operação de adição e a relação de ordem
• Números inteiros e propriedades.
• Números racionais e propriedades: Discussão sobre a falha da completude.
• Números reais: Cortes de Dedekind e o completamento do corpo dos números reais.

Seqüências e séries de números reais

• Definição e propriedades
• Convergência de seqüências
• Seqüências de Cauchy
• Séries
• Séries de termos positivos
• Séries de potências
• Testes da raiz e da razão
• Séries de rearranjadas

Continuidade

• Funções Contínuas
• Limites de funçoes
• Funçoes contínuas
• Funçoes e compacidade
• Funçoes e conexão
• Descontinuidades

A Diferenciabilidade

• Definição e propriedades
• O Teorema do valor médio
• Fórmula de Taylor
• Séries de Potências e analiticidade

As integrais de Riemann-Stieltjes

• Definição e propriedades
• Integração e Diferenciação

Seqüências e séries de funções

• Convergência uniforme
• Convergência uniforme e continuidade
• Convergência uniformee diferenciabilidade
• Convergência uniforme e integração
• Famílias equicontinuas
• O Teorema de Stone-Weierstrass

Bibliografia

• Walter Rudin - Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Third Edition (1976) (livro texto)
• Elon L. Lima - Curso de Análise - Volume 1, Projeto Euclides, CNPq-IMPA (2007) (livro texto)
• Djairo G. Figueiredo - Análise na reta, Colóquio Brasileiro de Matemática (1973) (livro texto)
• R. G. Bartle - Elementos de Análise Real, Editora Campus (1983)(complementar)
• S. Lang - Analysis I, Addison-Wesley (1968) (complementar)
• G. F. Simons - Introduction to Topology and Modern Analysis, Mc Graw-Hill (1963) (complementar)
• Chaim S. Hönig - Aplicações da Topologia à Análise, Projeto Euclides, CNPq-IMPA (1976) (complementar)